Question

已知函数f(x)=ax+

x-2

x+1

（a＞1），求证：
（1）函数f（x）在（-1，+∞）上为增函数；
（2）方程f（x）=0没有负数根．

Answer 1

分析：（1）证明函数的单调性，一个重要的基本的方法就是根据函数单调性的定义；
（2）对于否定性命题的证明，可用反证法，先假设方程f（x）=0有负数根，经过层层推理，最后推出一个矛盾的结论．

解答：证明：（1）设-1＜x₁＜x₂，
则f(x1)-f(x2)=ax1+

x1-2

x1+1

-ax2-

x2-2

x2+1

=ax1-ax2+

x1-2

x1+1

-

x2-2

x2+1

=ax1-ax2+

3(x1-x2)

(x1+1)(x2+1)

，
∵-1＜x₁＜x₂，∴x₁+1＞0，x₂+1＞0，x₁-x₂＜0，
∴

3(x1-x2)

(x1+1)(x2+1)

＜0；
∵-1＜x₁＜x₂，且a＞1，∴ax1＜ax2，∴ax1-ax2＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
∴函数f（x）在（-1，+∞）上为增函数；
（2）假设x₀是方程f（x）=0的负数根，且x₀≠-1，则ax0+

x0-2

x0+1

=0，
即ax0=

2-x0

x0+1

=

3-(x0+1)

x0+1

=

3

x0+1

-1，①
当-1＜x₀＜0时，0＜x₀+1＜1，∴

3

x0+1

＞3，
∴

3

x0+1

-1＞2，而由a＞1知ax0＜1．∴①式不成立；
当x₀＜-1时，x₀+1＜0，∴

3

x0+1

＜0，∴

3

x0+1

-1＜-1，而ax0＞0．
∴①式不成立．综上所述，方程f（x）=0没有负数根．

点评：（1）函数的单调性就是随着x的变大，y在变大就是增函数，y变小就是减函数，具有这样的性质就说函数具有单调性，符号表示：就是定义域内的任意取x₁，x₂，且x₁＜x₂，比较f（x₁），f（x₂）的大小 （当f（x₁）＜f（x₂）则是增函数，当f（x₁）＞f（x₂）则是减函数）；
（2）方程的根，就是指使方程成立的未知数的值．对于结论是否定形式的命题，往往用反证法证明．