Question

9．设函数f（x）=lnx+x²-2mx+m²，m∈R．
（Ⅰ） 当m=0时，求函数f（x）在[1，3]上的最小值；
（Ⅱ） 若函数f（x）在[$\frac{2}{3}$，$\frac{3}{2}$]上存在单调递增区间，求实数m的取值范围；
（Ⅲ） 若函数f（x）存在极值点，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）代人m值，利用导函数得出单调性，根据单调性求出最小值；
（Ⅱ）求出导函数，构造函数g（x）=2x²-2mx+1，根据二次函数的性质可知只需g（$\frac{3}{2}$）＞0，或g（$\frac{2}{3}$）＞0即可．解不等式求并集即可；
（Ⅲ）利用间接法，求出反面函数f（x）不存在极值点m的范围，再求补集即可．

解答 （Ⅰ） 解：当m=0时，f（x）=lnx+x²，其定义域为（0，+∞），f'（x）=$\frac{1}{x}$+2，
所以f（x）在[1，3]上是增函数，当x=1时，f（x）取得最小值f（1）=1．
故函数f（x）在[1，3]上的最小值为1．
（Ⅱ） 解：依题意，可知f'（x）=$\frac{1}{x}$+2x-2m=$\frac{2{x}^{2}-2mx+1}{x}$，
设g（x）=2x²-2mx+1，则区间[$\frac{2}{3}$，$\frac{3}{2}$]上存在子区间使得不等式g（x）＞0成立．
因为函数g（x）的图象是开口向上的抛物线，
所以只要g（$\frac{3}{2}$）＞0，或g（$\frac{2}{3}$）＞0即可．
由g（$\frac{2}{3}$）＞0，即$\frac{2}{9}$-$\frac{4}{3}$m+1＞0，解得m＜$\frac{11}{12}$，
由g（$\frac{3}{2}$）＞0，即$\frac{9}{2}$-3m+1＞0，解得m＜$\frac{11}{6}$，
因此，实数m的取值范围是（-∞，$\frac{11}{6}$）．
（Ⅲ） 由（Ⅱ）可知f'（x）=$\frac{1}{x}$+2x-2m，
假设函数f（x）不存在极值点，
∴函数f（x）定义域内恒单调，
∴f'（x）≥0恒成立，
∴$\frac{1}{x}$+2x-2m≥0恒成立，
∴m≤$\sqrt{2}$，
∴若函数存在极值点m的取值范围是（$\sqrt{2}$，+∞）．

点评 考查了利用导函数判断函数的单调性问题和利用构造法，结合二次函数的图象，利用转化的方法解决实际问题．