Question

9．已知数列的前5项为1$\frac{1}{3}$，2$\frac{1}{9}$，3$\frac{1}{27}$，4$\frac{1}{81}$，5$\frac{1}{243}$．
（1）写出该数列的一个通项公式；
（2）求该数列的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）由1$\frac{1}{3}$=1+$\frac{1}{3}$，2$\frac{1}{9}$=2+$（\frac{1}{3}）^{2}$，…5$\frac{1}{243}$=5+$（\frac{1}{3}）^{5}$．可得：该数列的通项公式为：a_n=n+$（\frac{1}{3}）^{n}$．
（2）利用等差数列与等比数列的前n项和公式即可得出该数列的前n项和S_n．

解答 解：（1）∵1$\frac{1}{3}$=1+$\frac{1}{3}$，2$\frac{1}{9}$=2+$（\frac{1}{3}）^{2}$，3$\frac{1}{27}$=3+$（\frac{1}{3}）^{3}$，4$\frac{1}{81}$=4+$（\frac{1}{3}）^{4}$，5$\frac{1}{243}$=5+$（\frac{1}{3}）^{5}$．
可得：该数列的通项公式为：a_n=n+$（\frac{1}{3}）^{n}$．
（2）该数列的前n项和S_n=（1+2+…+n）+$[\frac{1}{3}+（\frac{1}{3}）^{2}+…+（\frac{1}{3}）^{n}]$
=$\frac{n（n+1）}{2}$+$\frac{\frac{1}{3}[1-（\frac{1}{3}）^{n}]}{1-\frac{1}{3}}$
=$\frac{n（n+1）}{2}$+$\frac{1}{2}[1-（\frac{1}{3}）^{n}]$．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．