解:(1)证明: 由
,得
an+1=2
n—
an,
∴
,
∴数列
是首项为
,公比为
的等比数列.………………3分
∴
, 即
,
∴
…………………………………………………………………………5分
(2)解:假设在数列{
bn}中,存在连续三项
bk-1,
bk,
bk+1(
k∈N*,
k≥2)成等差数列,则
bk-1+
bk+1=2
bk,即
,
即
=4
………………………………………………………………7分
若
k为偶数,则
>0,4
=-4<0,所以,不存在偶数
k,使得
bk-1,
bk,
bk+1成等差数列。…………………………………………………………8分
若
k为奇数,则
k≥3,∴
≥4,而4
=4,所以,当且仅当
k=3时,
bk-1,
bk,
bk+1成等差数列。
综上所述,在数列{
bn}中,有且仅有连续三项
b2,
b3,
b4成等差数列。…………10分
(3)要使
b1,
br,
bs成等差数列,只需
b1+
bs=2
br,
即3+
=2[
],即
, ①
(ⅰ)若
s=
r+1,在①式中,左端
=0,右端
=
,要使①式成立,当且仅当
s为偶数时成立。又
s>
r>1,且
s,
r为正整数,所以,当
s为不小于4的正偶数,且
s=
r+1时,
b1,
br,
bs成等差数列。……………………………………………………………13分
(ⅱ)若
s≥
r+2时,在①式中,左端
≥
=
>0,右端
≤0,∴当
s≥
r+2时,
b1,
br,
bs不成等差数列。
综上所述,存在不小于4的正偶数
s,且
s=
r+1,使得
b1,
br,
bs成等差数列。…15分