Question

18．已知sinα=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，α∈（$\frac{π}{2}$，π）．
（1）求cos（α+$\frac{π}{3}$）的值；
（2）求sin（$\frac{3π}{4}$-2α）的值．

Answer 1

分析 由已知求得cosα，再由二倍角公式求得sin2α，cos2α．
（1）直接展开两角和的余弦求得cos（α+$\frac{π}{3}$）的值；
（2）展开两角差的正弦求得sin（$\frac{3π}{4}$-2α）的值．

解答 解：∵sinα=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，α∈（$\frac{π}{2}$，π），∴cosα=-$\sqrt{1-si{n}^{2}α}=-$$\sqrt{1-（\frac{2\sqrt{5}}{5}）^{2}}=-\frac{\sqrt{5}}{5}$．
（1）cos（α+$\frac{π}{3}$）=cosαcos$\frac{π}{3}-sinαsin\frac{π}{3}$=$-\frac{\sqrt{5}}{5}×\frac{1}{2}-\frac{2\sqrt{5}}{5}×\frac{\sqrt{3}}{2}=-\frac{2\sqrt{15}+\sqrt{5}}{10}$；
（2）∵sinα=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，cosα=$-\frac{\sqrt{5}}{5}$，∴sin2α=2sinαcosα=2×$\frac{2\sqrt{5}}{5}×（-\frac{\sqrt{5}}{5}）=-\frac{4}{5}$，
cos2α=$2co{s}^{2}α-1=2×（-\frac{\sqrt{5}}{5}）^{2}-1=-\frac{3}{5}$．
∴sin（$\frac{3π}{4}$-2α）=$sin\frac{3π}{4}cos2α-cos\frac{3π}{4}sin2α$=$\frac{\sqrt{2}}{2}×（-\frac{3}{5}）-\frac{\sqrt{2}}{2}×（-\frac{4}{5}）=\frac{\sqrt{2}}{10}$．

点评 本题考查三角函数的化简求值，考查了三角函数中的恒等变换应用，是中档题．