Question

8．设S_n为数列{a_n}的前n项和，已知下列各式，n∈N^*，求通项公式a_n
（1）S_n=2n²+n；
（2）S_n=2n²+3n+1；
（3）a_n=5S_n+1；
（4）a₁=1，a_n=2S_n（n≥2，n∈N^*）

Answer 1

分析 利用等差数列与等比数列的通项公式及其：递推关系a_n=$\left\{\begin{array}{l}{{S}_{1}，n=1}\\{{S}_{n}-{S}_{n-1}，n≥2}\end{array}\right.$，注意n=1时的情况．

解答 解：（1）∵S_n=2n²+n，∴n=1时，a₁=2+1=3；n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2n²+n-[2（n-1）²+（n-1）]=4n-1，n=1时也成立．
∴a_n=4n-1．
（2）S_n=2n²+3n+1，∴n=1时，a₁=2+3+1=6；n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2n²+3n+1-[2（n-1）²+3（n-1）+1]=4n+1，
∴a_n=$\left\{\begin{array}{l}{6，n=1}\\{4n+1，n≥2}\end{array}\right.$．
（3）a_n=5S_n+1，∴n=1时，a₁=5a₁+1，解得a₁=-$\frac{1}{4}$；n≥2时，a_n-a_n-1=5（S_n-S_n-1）+1-1，化为：4a_n=-a_n-1，即${a}_{n}=-\frac{1}{4}{a}_{n-1}$，
∴数列{a_n}是等比数列，首项与公比都为-$\frac{1}{4}$．
∴${a}_{n}=（-\frac{1}{4}）^{n}$．
（4）a₁=1，a_n=2S_n（n≥2，n∈N^*），∴n=2时，a₂=2（1+a₂），解得a₂=-2．同理可得：a₃=2，a₄=-2．
n≥3时，a_n+1-a_n=2（S_n+1-S_n）=2a_n+1，化为：a_n+1=-a_n．a₂≠-a₁，a₃=-a₂，a₄=-a₃．
∴数列{a_n}从第二项开始是等比数列，公比-1．∴${a}_{n}={a}_{2}（-1）^{n-2}$=2×（-1）^n-1．
∴a_n=$\left\{\begin{array}{l}{1，n=1}\\{2×（-1）^{n-1}，n≥2}\end{array}\right.$．

点评 本题考查了递推关系、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．