设各项均为正数的数列
的前
项和为
,满足
且
构成等比数列．(1) 证明:
；(2) 求数列的通项公式；(3) 证明:对一切正整数,有
.
名校课堂系列答案科目：高中数学 来源： 题型：解答题
在等差数列{an}和等比数列{bn}中，a1=1，b1=2，bn＞0（n∈N*），且b1，a2，b2成等差数列，a2，b2，a3+2成等比数列，数列{bn}的前n项和为Sn．
（Ⅰ）求数列{an}，{bn}的通项公式；
（Ⅱ）若Sn+an＞m对任意的正整数n恒成立，求常数m的取值范围．
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已知等差数列
满足：
=2，且
成等比数列.
（1）求数列的通项公式.
（2）记
为数列的前n项和，是否存在正整数n，使得
若存在，求n的最小值；若不存在，说明理由.
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在等比数列{an}中，an＞0（n∈N*），且a1a3=4,a3+1是a2和a4的等差中项.
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若数列{bn}满足bn=an+1+log2an（n=1,2,3,…），求数列{bn}的前n项和Sn.
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设等比数列{an}的前n项和为Sn，已知an + 1 = 2Sn + 2 (n∈N*)．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)在an与an + 1之间插入n个数，使这n + 2个数组成一个公差为dn的等差数列．
①在数列{dn}中是否存在三项dm，dk，dp (其中m，k，p成等差数列)成等比数列？若存在，求出这样的三项，若不存在，说明理由；
②求证：
．
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；（3）证明见解析.
取n=1，可得到
与
的关系，即可证得；（2）当
时，有
，可得到的
与
的关系式，从而可知等差数列
，即可写出其通项公式；（3）裂项：
，以下用裂项相消法，即可化简题中左式，从而证得不等式.
时，
，
；
，
,
，
当
是公差
的等差数列．
构成等比数列，
，
，解得
,由（1）可知，
，
,公差
的关系：
，等差数列的定义，等比中项，裂项相消求和法，特殊到一般思想，化归思想.
,
是公差不为0的等差数列,
,则
中，
，且
，
，
成等差数列.
；
，求数列
的前
项和
.
的前
项和为
，
，
，
，求数列
的前100项和．
中，
.
项和
，求