Question

已知直线l：3x-y-1=0及点A（4，1），B（0，4），C（2，0）．
（1）试在l上求一点P，使|AP|+|CP|最小；
（2）试在l上求一点Q，使|AQ|-|BQ|最大．

Answer 1

考点：与直线关于点、直线对称的直线方程

专题：直线与圆

分析：（1）求出C关于直线的对称点C′的坐标，求出直线AC′的方程，通过求解方程组，即可在l上求一点P，使|AP|+|CP|最小；
（2）求出B关于直线的对称点B′的坐标，求出直线AC′的方程，通过求解方程组，即在l上求一点Q，使|AQ|-|BQ|最大．

解答： 解：（1）设C关于直线的对称点C′的坐标（a，b），则

3× 2+a 2 - b 2 -1=0 b a-2 ×3=-1

，解得

a=-1 b=1

，
则AC′的直线方程为：y=1，联立

3x-y-1=0 y=1

，
交点为（

2

3

，1），在l上求一点P（

2

3

，1），使|AP|+|CP|最小；
（2）设B关于直线的对称点B′的坐标（a，b），则

3× 0+a 2 - 4+b 2 -1=0 b-4 a-0 ×3=-1

，

a=3 b=3

解得B′（3，3），
直线AB′的方程为：

y-3

x-3

=

3-1

3-4

，即2x+y-9=0，
联立

2x+y-9=0 3x-y-1=0

，解得：

x=2 y=5

，在l上求一点Q（2，5），
由对称性知，|BQ|=B′Q|，|AQ|-|BQ|=|AQ|-|B′Q|≤|AB′|（当且仅当Q、B′、A三点共线时取“=”），
∴l上的点Q（2，5），是使|AQ|-|BQ|最大的点．

点评：本题考查直线关于直线，点关于直线对称点的求法，两点两点距离之和与差的最值问题，考查计算能力．