Question

如图，菱形ABCD的边长为4，∠BAD=60°，AC∩BD=O．将菱形ABCD沿对角线AC折起，得到三棱锥B﹣ACD，点M是棱BC的中点，DM=2．

（1）求证：OM∥平面ABD；

（2）求证：平面DOM⊥平面ABC；

（3）求三棱锥B﹣DOM的体积．

 

 

Answer 1

（1）∵O为AC的中点，M为BC的中点，∴OM∥AB．又∵OM?平面ABD，AB?平面ABD，∴OM∥平面ABD．（2）∵在菱形ABCD中，OD⊥AC，∴在三棱锥B-ACD中，OD⊥AC．在菱形ABCD中，AB=AD=4，

∠BAD=60°，可得BD=4．∵O为BD的中点，∴，BD=2．∵O为AC的中点，M为BC的中点，∴，AB=2．因此，，可得OD⊥OM．∵AC、OM是平面ABC内的相交直线，∴OD⊥平面ABC．∵OD?平面DOM，∴平面DOM⊥平面ABC．（3）.

【解析】

试题分析：（1）利用三角形中位线定理，证出OM∥AB，结合线面平行判定定理，即可证出OM∥平面ABD．

（2）根据题中数据，算出，BD=2，，AB=2，从而得到，可得OD⊥OM．结合OD⊥AC利用线面垂直的判定定理，证出OD⊥平面ABC，从而证出平面DOM⊥平面ABC．

（3）由（2）得到OD为三棱锥D-BOM的高．算出△BOM的面积，利用锥体体积公式算出三棱锥D-BOM的体积，即可得到三棱锥B-DOM的体积．

试题解析：（1）∵O为AC的中点，M为BC的中点，∴OM∥AB．

又∵OM?平面ABD，AB?平面ABD，∴OM∥平面ABD．

（2）∵在菱形ABCD中，OD⊥AC，∴在三棱锥B-ACD中，OD⊥AC．

在菱形ABCD中，AB=AD=4，∠BAD=60°，可得BD=4．

∵O为BD的中点，∴DO=，BD=2．∵O为AC的中点，M为BC的中点，∴OM=，AB=2．

因此，，可得OD⊥OM．∵AC、OM是平面ABC内的相交直线，∴OD⊥平面ABC．

∵OD?平面DOM，∴平面DOM⊥平面ABC．

（3）由（2）得，OD⊥平面BOM，所以OD是三棱锥D-BOM的高．

由OD=2，，

所以.

考点：线面平行问题；面面垂直问题；三棱锥的体积.