已知函数f(x)=x2e-ax,其中a>0.
(I)求f(x)的单调区间;
(II)求f(x)在[1,2]上的最大值
分析:(I)对函数f(x)=x2e-ax,进行求导,解出函数的极值点,然后根据极值点的值判断函数的单调区间;
(II)因区间[1,2]比较大,里面不是单调的增或者间,需要讨论,然后代入求解.
解答:解:(Ⅰ)f'(x)=2xe
-ax+x
2(-a)e
-ax=e
-ax(-ax
2+2x)(2分)
令f'(x)>0,∵e
-ax>0(3分)
∴-ax
2+2x>0,解得
0<x<.(4分)
∴f(x)在(-∞,0)和
(,+∞)内是减函数,在
(0,)内是增函数.(6分)
(Ⅱ)①当
0<<1,即a>2时,f(x)在(1,2)内是减函数.
∴在[1,2]上f
max(x)=f(1)=e
-a;(8分)
②当
1≤≤2,即1≤a≤2时,f(x)在
(1,)内是增函数,在
(,2)内是减函数.
∴在[1,2]上
fmax(x)=f()=4a-2e-2;(10分)
③当
>2,即0<a<1时,f(x)在(1,2)是增函数.
∴在[1,2]上f
max(x)=f(2)=4e
-2a.(12分)
综上所述,当0<a<1时,f(x)在[1,2]上的最大值为4e
-2a;
当1≤a≤2时,f(x)在[1,2]上的最大值为4a
-2e
-2;
当a>2时,f(x)在[1,2]上的最大值为e
-a.(13分)
点评:本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值、解不等式等基础知识,考查综合分析和解决问题的能力.