Question

设二次函数f（x）的二次项系数为a，且不等式f（x）-x＜0的解集为（x₁，x₂），其中x₁，x₂满足0＜x₁＜x₂＜

1

a

，当x∈（x₁，x₂）时，求证x₁＜f（x）＜x₂．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：由题意可得f（x）的图象开口向上，且f（x）的图象和直线y=x的交点的横坐标分别为x₁，x₂ ，数形结合证得结论．

解答： 解：由不等式f（x）-x＜0的解集为（x₁，x₂），其中x₁，x₂满足0＜x₁＜x₂＜

1

a

，
可得a＞0，故f（x）的图象开口向上，且f（x）的图象和直线y=x的交点的横坐标分别为x₁，x₂ ，如图：
故当x∈（x₁，x₂）时，求证x₁＜f（x）＜x₂．

点评：本题主要考查二次函数的性质，体现了转化、数形结合的数学思想，属于基础题．