Question

（2012•烟台一模）已知命题p：“a=1是x＞0，x+

a

x

≥2的充分必要条件”，命题q：“存在x₀∈R，x02+x₀-2＞0”，则下列命题正确的是（　　）

A．命题“p∧q”是真命题

B．命题“p∧（?q）”是真命题

C．命题“（?p）∧q”是真命题

D．命题“（?p）∧（?q）”是真命题

Answer 1

分析：根据基本不等式进行讨论，可得：“a=1是x＞0，x+

a

x

≥2的充分不必要条件”，命题p是假命题．再根据一元二次不等式的解法，得到命题q：“存在x₀∈R，x02+x₀-2＞0”是真命题．由此不难得出正确的答案．

解答：解：对于p，当a=1时，x+

1

x

≥2

x• 1 x

=2，在x＞0时恒成立，
反之，若x＞0，x+

a

x

≥2恒成立，则2

x• a x

≥2，即

a

≥1，可得a≥1
因此，“a=1是x＞0，x+

a

x

≥2的充分不必要条件”，命题p是假命题．
对于q，∵在x₀＜-1或x₀＞2时x02+x₀-2＞0才成立，
∴“存在x₀∈R，x02+x₀-2＞0”是真命题，即命题q是真命题．
综上，命题p为假命题而命题q为真命题，所以命题“（￢p）∧q”是真命题
故选C

点评：本题以两个含有不等式的命题真假的判断为载体，着重考查了一元二次不等式的解法、基本不等式和复合命题的真假判断等知识，属于基础题．