Question

如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为a，线段B₁C上有一个动点P线段A₁C₁有两个动点E、F，且EF=

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a，现有如下四个结论：1点E、F在棱A₁C₁上运动时，三棱锥B-CEF的体积为定值；2点P在直线B₁C上运动时，直线A₁P与平面A₁C₁D所成角的大小不变；3点P在直线B₁C上运动时，直线AD₁与A₁P所成角的大小不变；4点M是底面ABCD所在平面上的一点，且到直线AD与直线CC₁的距离相等，则M点的轨迹是抛物线．
其中正确结论的序号是

 

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Answer 1

分析：1：体积为定值，看底面面积和高的乘积是否是定值；
2：直线与平面所成的角不变，看直线与平面的关系，平面是否确定，直线是怎样的；
3：直线与直线的夹角，看这两条直线的位置关系，平行，垂直，是否满足异面直线的定义；
4：轨迹问题，转化到平面进行考虑即可．

解答：解：1：点E、F在棱A₁C₁上运动，由于EF的长度不变，
B到平面EFC的距离不变，所以三棱锥B-CEF的体积为定值；正确．
2：点P在直线B₁C上运动时，平面A₁C₁D是确定的平面，
而直线A₁P是动直线，所以直线A₁P与平面A₁C₁D所成角的大小不变；这是错误的．
3：点P在直线B₁C上运动时，因为直线AD₁与平面A₁B₁CD是垂直的，
所以直线AD₁与A₁P所成角的大小是90°，是不变的；正确．
4：点M是底面ABCD所在平面上的一点，点M到直线CC₁的距离，就是M到C的距离，
M到直线AD与直线CC₁的距离相等，则M点的轨迹满足抛物线的定义；正确．
故答案为：1、3、4

点评：本题考查棱柱的结构特征，命题真假的判定，涉及平面解析几何知识，考查线线角，线面角，是难题．