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(本小题满分12分)
如图,为椭圆上的一个动点,弦分别过焦点,当垂直于轴时,恰好有

(Ⅰ)求椭圆的离心率;
(Ⅱ)设.
①当点恰为椭圆短轴的一个端点时,求的值;
②当点为该椭圆上的一个动点时,试判断是否为定值?
若是,请证明;若不是,请说明理由.
(1) (2)(3)

试题分析:(Ⅰ)法一:设,则.由题设及椭圆定义得
,消去,所以离心率. ………………2分
法二:由椭圆方程得,,即,可求.
(Ⅱ)法一:由(Ⅰ)知,,所以椭圆方程可化为.
①当A点恰为椭圆短轴的一个端点时,,直线的方程为.
,解得
∴点的坐标为.
,所以,所以. ………5分
②当A点为该椭圆上的一个动点时,为定值6.
证明:设,则.
为椭圆的长轴端点,则
所以.               ………………7分
为椭圆上异于长轴端点的任意一点,则由得,,所以.
又直线的方程为,所以由
.
,∴.
由韦达定理得 ,所以. 同理.
.
综上证得,当A点为该椭圆上的一个动点时,为定值6. ………………12分
法二:设,则
,∴;            ………………6分
①,②,将代入②得:
 即③;
①得:;                               ……………10分
同理:由,∴
.                                           ……………12分
点评:解决该试题的关键是能利用联立方程组的方法,结合韦达定理,以及判别式,来表示参数的值,进而结合函数的表达式化简求解为定值,考查了分析问题和解决问题的能力,属于中档题。
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