Question

已知函数f（x）=x³-3x．
（1）求曲线y=f（x）在点M（2，2）处的切线方程；
（2）求函数f（x）的单调区间；
（3）求函数f（x）的极值（要列出表格）．

Answer 1

解：（1）∵f'（x）=（x³-3x）'=3x²-3，
∴在点（2，2）处的切线的斜率k=f^′（2）=3×2²-3=9，
∴切线的方程为y=9x-16．
（2）f（x）=x³-3x，f′（x）=3x²-3，
令f′（x）＞0解得x∈（-∞，-1）∪（1，+∞）
令f′（x）＜0解得x∈（-1，1），
故函数的单调增区间为（-∞，-1），（1，+∞），单调减区间为（-1，1）．
（3）f（x）=x³-3x，
f'（x）=3x²-3=3（x-1）（x+1），
令f'（x）=0，得x=-1或x=1，…（2分）
当x在R上变化时，f'（x）与f（x）的变化情况如下：

x	（-∞，-1）	-1	（-1，1）	1	（1，+∞）
f'（x）	正	0	负	0	正
f（x）	增	极大值	减	极小值	增

故f（x）在R上有极大值为f（-1）=2，极小值为f（1）=-2．
分析：（1）先求出函数的导函数，再求出函数在（2，2）处的导数即斜率，易求切线方程．
（2）先求导数fˊ（x）然后在函数的定义域内解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，fˊ（x）＞0的区间为单调增区间，fˊ（x）＜0的区间为单调减区间．
（3）当f（x）=x³-3x时，f'（x）=3x²-3=3（x-1）（x+1），令f'（x）=0，得x=-1或x=1，列表讨论，能求出f（x）在[-2，2]上的极大值和极小值．
点评：本题考查函数的极值和单调性的求法，利用导数判断函数的单调性的步骤是：（1）确定函数的定义域；（2）求导数f′（x）；（3）在函数的定义域内解不等式f′（x）＞0和f′（x）＜0；（4）确定函数的单调区间．