Question

17．如图，四边形EFGH是圆心角为60°，半径为R的扇形的内接矩形，点F，G在$\widehat{AB}$上，求四边形EFGH的最大面积．

Answer 1

分析 求最大值问题这里应构造函数，怎么选择便于以此表达矩形面积的自变量

解答 解：设∠FOA=θ，则GF=2Rsin（30°-θ），
在△OFE中，∠OEF=150°，故FE=2Rsinθ
设矩形的面积为S．
那么S=EF•FG=4R²sinθsin（30°-θ）
=2R²[cos（2θ-30°）-cos30°]=2R²[cos（2θ-30°）-$\frac{\sqrt{3}}{2}$]
又∵0＜θ＜30°，故当cos（2θ-30°）=1即θ=15°时，S取最大值R²（2-$\sqrt{3}$）．

点评 本题关键是如何利用角θ表示矩形的长与宽，合理地把长与宽放在三角形中，利用正弦定理或三角定义来表示．