Question

17．在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对边长分别为a、b、c，已知$\overrightarrow m=（sinC，sinBcosA）$，$\overrightarrow n=（b，2c）$且$\overrightarrow m•\overrightarrow n=0$．
（1）求∠A的大小；
（2）若$a=2\sqrt{3}$，sinB+sinC=1，求△ABC的面积S．

Answer 1

分析 （1）根据$\overrightarrow m•\overrightarrow n=0$，可得bsinC+2csinBcosA=0，由正弦定理得bc+2cbcosA=0，进而得出．
（2）由（1）及余弦定理得a²=b²+c²+bc，了由正弦定理可得sin²A=sin²B+sin²C+sinBsinC，化简整理再利用三角形面积计算公式即可得出．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow m•\overrightarrow n=0$，∴（sinC，sinBcosA）•（b，2c）=0，
∴bsinC+2csinBcosA=0…（2分）  
由正弦定理得bc+2cbcosA=0…（4分）
∵b≠0，c≠0∴$cosA=-\frac{1}{2}$…（5分）
∵0＜A＜π∴$A=\frac{2π}{3}$…（6分）
（2）由（1）及余弦定理得a²=b²+c²+bc，
得sin²A=sin²B+sin²C+sinBsinC
即${sin^2}B+{sin^2}C+sinBsinC=\frac{3}{4}$…（8分）
又sinB+sinC=1，解得$sinB=sinC=\frac{1}{2}$…（9分）
∵$a=2\sqrt{3}$∴b=c=2…（11分）
∴△ABC的面积$S=\frac{1}{2}bcsinA=\frac{1}{2}×2×2×\frac{{\sqrt{3}}}{2}=\sqrt{3}$…（12分）

点评 本题考查了正弦定理余弦定理、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．