Question

9．已知函数f（x）=|2x+1|+|2x-1|．
（1）求证：f（x）的最小值等于2；
（2）若对任意实数a和b，$|{2a+b}|+|a|-\frac{1}{2}|{a+b}|f（x）≥0$，求实数x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用绝对值不等式的性质，证明f（x）的最小值等于2；
（2）若对任意实数a和b，$|{2a+b}|+|a|-\frac{1}{2}|{a+b}|f（x）≥0$，分类讨论，当且仅当$-\frac{1}{2}≤x≤\frac{1}{2}$时，f（x）=2．，即可求实数x的取值范围．

解答 （1）证明：∵|2x+1|+|2x-1|=|2x+1|+|1-2x|≥|（2x+1）+1-2x|=2，∴f（x）≥2．
当且仅当（2x+1）（1-2x）≥0时“=”成立，即当且仅当$-\frac{1}{2}≤x≤\frac{1}{2}$时，f（x）=2．
∴f（x）的最小值等于2．
（2）解：当a+b=0即a=-b时，$|{2a+b}|+|a|-\frac{1}{2}|{a+b}|f（x）≥0$可转化为2|b|-0•f（x）≥0，
即2|b|≥0成立，∴x∈R．
当a+b≠0时，
∵|2a+b|+|a|=|2a+b|+|-a|≥|（2a+b）-a|=|a+b|，
当且仅当（2a+b）（-a）≥0时“=”成立，即当且仅当（2a+b）a≤0时“=”成立，
∴$\frac{{|{2a+b}|+|a|}}{{|{a+b}|}}≥1$，且当（2a+b）a≤0时，$\frac{{|{2a+b}|+|a|}}{{|{a+b}|}}=1$，
∴$\frac{{|{2a+b}|+|a|}}{{|{a+b}|}}$的最小值等于1，
∵$|{2a+b}|+|a|-\frac{1}{2}|{a+b}|f（x）≥0$，$?\frac{{|{2a+b}|+|a|}}{{|{a+b}|}}≥\frac{1}{2}f（x）$，
∴$\frac{1}{2}f（x）≤1$，即f（x）≤2．
由（1）知f（x）≥2，∴f（x）=2．
由（1）知当且仅当$-\frac{1}{2}≤x≤\frac{1}{2}$时，f（x）=2．
综上所述，x的取值范围是$[-\frac{1}{2}，\frac{1}{2}]$．

点评 本题考查绝对值不等式的性质，考查恒成立问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．