Question

19．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，D是BC边上靠近点B的三等分点，$sin\frac{∠BAC+∠ACB}{2}=\frac{{\sqrt{6}}}{3}$．
（Ⅰ）若2cosC（acosB+bcosA）=c，求C；
（Ⅱ）若c=AD=3，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由2cosC（acosB+bcosA）=c及正弦定理得2cosC（sinAcosB+sinBcosA）=sinC，得2cosC=1，即可求C；
（Ⅱ）若c=AD=3，求出BC，BC边上的高，即可求△ABC的面积．

解答 解：（Ⅰ）由2cosC（acosB+bcosA）=c及正弦定理得2cosC（sinAcosB+sinBcosA）=sinC
?2cosCsin（A+B）=sinC?2cosCsinC=sinC，
因为C∈（0，π），所以sinC≠0，所以2cosC=1．
又因为C∈（0，π），所以$C=\frac{π}{3}$．  …（6分）
（Ⅱ）由$sin\frac{∠BAC+∠ACB}{2}=sin\frac{π-B}{2}=cos\frac{B}{2}=\frac{{\sqrt{6}}}{3}$得$cosB=2{cos^2}\frac{B}{2}-1=\frac{1}{3}$．
由余弦定理得$cosB=\frac{{A{B^2}+B{D^2}-A{D^2}}}{2AB×BD}$，即$\frac{1}{3}=\frac{{{3^2}+B{D^2}-{3^2}}}{2×3×BD}$，得BD=2，故a=6．
设BC边上的高为AE，在Rt△ABE中，$AE=AB×sinB=2\sqrt{2}$．
所以△ABC的面积为$\frac{1}{2}×2\sqrt{2}×6=6\sqrt{2}$． …（12分）

点评 本题考查正弦、余弦定理的运用，考查三角形面积的计算，属于中档题．