Question

10．已知△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，且cosA=$\frac{3}{4}$．
（1）若△ABC的周长为30，且$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=90，求边a的长；
（2）若tanC=3$\sqrt{7}$，且|$\overrightarrow{AC}$+$\overrightarrow{BC}$|=$\sqrt{46}$，求△ABC的面积；
（3）若|$\overrightarrow{AC}$+$\overrightarrow{BC}$|=$\sqrt{46}$，求△ABC的面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）由题意，以及向量的数量积以及余弦定理可得关于a，b，c的方程组，解得即可，
（2）根据同角的三角函数的关系和两角和的正弦公式和诱导公式，根据正弦定理得到a：b：c=sinA：sinB：sinC=4：5：6，不妨设a=4k，b=5k，c=6k，
再根据向量的数量积的运算求出k的值，即可求出三角形的面积，
（3）根据向量的数量积公式和基本不等式求出bc≤46，再根据三角形的面积公式即可求出答案．

解答 解：（1）△ABC的周长为30，即a+b+c=30①
且$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=90，即bccosA=90所以bc=120②
又有余弦定理得到2bccosA=b²+c²-a²=180，③
由①②③得到a=8；
（2）∵cosA=$\frac{3}{4}$，
∴sinA=$\sqrt{1-\frac{9}{16}}$=$\frac{\sqrt{7}}{4}$，
∵tanC=3$\sqrt{7}$，
∴sinC=3$\sqrt{7}$cosC，
∵sin²C+cos²C=1，
∴cosC=$\frac{1}{8}$，sinC=$\frac{3\sqrt{7}}{8}$，
∴sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=$\frac{\sqrt{7}}{4}$×$\frac{1}{8}$+$\frac{3}{4}$×$\frac{3\sqrt{7}}{8}$=$\frac{5\sqrt{7}}{16}$，
∵a：b：c=sinA：sinB：sinC=$\frac{\sqrt{7}}{4}$：$\frac{5\sqrt{7}}{16}$：$\frac{3\sqrt{7}}{8}$=4：5：6，
不妨设a=4k，b=5k，c=6k，
∵|$\overrightarrow{AC}$+$\overrightarrow{BC}$|=$\sqrt{46}$，
∴b²+a²+2abcosC=46，
即25k²+16k²+5k²=46，
解得k=1，
∴a=4，b=5，c=6，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{15\sqrt{7}}{4}$；
（3）∵|$\overrightarrow{AC}$+$\overrightarrow{BC}$|=$\sqrt{46}$，
∴|$\overrightarrow{AC}$+$\overrightarrow{AC}$+$\overrightarrow{BA}$|=$\sqrt{46}$，
∴|2$\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{AB}$|=$\sqrt{46}$，
∴4b²+c²-2×2bc×$\frac{3}{4}$=46，
∴4b²+c²-3bc=46，
∴4bc-3bc≤46，即bc≤46，当且仅当2b=c时取等号，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$bcsinA≤$\frac{1}{2}$×46×$\frac{\sqrt{7}}{4}$=$\frac{23\sqrt{7}}{4}$，
故△ABC的面积的最大值$\frac{23\sqrt{7}}{4}$．

点评 本题考查了三角函数的化简以及余弦定理和正弦定理和三角形的面积公式，以及向量的模和向量的数量积，以及基本不等式，考查了学生的运算能力和转化能力，属于中档题．