Question

5．已知存在0＜α＜$\frac{π}{2}$，0＜β＜$\frac{π}{2}$，0＜α+β＜$\frac{π}{2}$，使得方程sin$\frac{α}{2}$=kcosβ有根，则k的取值范围是[0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$]．

Answer 1

分析 根据0＜α＜$\frac{π}{2}$，0＜β＜$\frac{π}{2}$，0＜α+β＜$\frac{π}{2}$，求解$\frac{α}{2}$的范围，可得sin$\frac{α}{2}$的范围．求cosβ的范围，从而可以得解．

解答 解：由0＜α＜$\frac{π}{2}$，0＜β＜$\frac{π}{2}$，0＜α+β＜$\frac{π}{2}$，
可得：0＜$\frac{α}{2}$$＜\frac{π}{4}$，即0＜sin$\frac{α}{2}$$＜\frac{\sqrt{2}}{2}$，
由题意，0＜kcosβ$＜\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∵0＜cosβ＜1
∴0$＜k＜\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故答案为[0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$]．

点评 本题考查了三角函数的范围问题的计算．利用三角函数的有界限范围求解．属于基础题．