Question

2．已知椭圆C₁的中心为原点O，离心率e=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，其中一个焦点的坐标为（-$\sqrt{2}$，0）
（Ⅰ）求椭圆C₁的标准方程；
（Ⅱ）当点Q（u，v）在椭圆C₁上运动时，设动点P（2v-u，u+v）的运动轨迹为C₂，若点T满足：$\overrightarrow{OT}$=$\overrightarrow{MN}$+2$\overrightarrow{OM}$+$\overrightarrow{ON}$，其中M，N是C₂上的点，直线OM，ON的斜率之积为-$\frac{1}{2}$，试说明：是否存在两个定点F₁，F₂，使得|TF₁|+|TF₂|为定值？若存在，求F₁，F₂的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由椭圆离心率e=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，其中一个焦点的坐标为（-$\sqrt{2}$，0），列出方程组，求出a，b，由此能求出椭圆方程．
（Ⅱ）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），P（x，y），T（m，n），推导出m=x₁+2x₂，n=y₁+2y₂，设k_OM，k_ON分别为直线OM，ON的斜率，由已知条件得x₁x₂+2y₁y₂=0，利用点差法能求出存在两定点F₁，F₂，且为椭圆$\frac{{x}^{2}}{60}+\frac{{y}^{2}}{30}$=1的两个焦点，使得|TF₁|+|TF₂|为定值，并能求出其坐标．

解答 解：（Ⅰ）∵椭圆C₁的中心为原点O，离心率e=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，其中一个焦点的坐标为（-$\sqrt{2}$，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}}\\{c=\sqrt{2}}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得a=2，b=$\sqrt{2}$，
∴椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$．
（Ⅱ）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），P（x，y），T（m，n），
则$\left\{\begin{array}{l}{x=2v-μ}\\{y=μ+v}\end{array}\right.$，∴$\left\{\begin{array}{l}{μ=\frac{1}{3}（2y-x）}\\{v=\frac{1}{3}（x+y）}\end{array}\right.$，
∵点Q（μ，v）在椭圆C₁上运动，
∴$\frac{{μ}^{2}}{4}+\frac{{v}^{2}}{2}$=1，
[$\frac{1}{3}$（2y-x）]²+2[$\frac{1}{3}$（x+y）]²=4，
x²+2y²=12，
∴动点P的轨迹方程为x²+2y²=12，
由$\overrightarrow{OT}=\overrightarrow{MN}+2\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{ON}$，得：
（m，n）=（x₂-x₁，y₂-y₁）+2（x₁，y₁）+（x₂，y₂）=（x₁+2x₂，y₁+2y₂），
∴m=x₁+2x₂，n=y₁+2y₂，
设k_OM，k_ON分别为直线OM，ON的斜率，由已知条件得${k}_{OM}•{k}_{ON}=\frac{{y}_{1}{y}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=-$\frac{1}{2}$，
∴x₁x₂+2y₁y₂=0，
∵点M，N在椭圆C₂上，
∴${{x}_{1}}^{2}+2{{y}_{1}}^{2}$=12，${{x}_{2}}^{2}+2{{y}_{2}}^{2}$=12，
∴m²+2n²=（${{x}_{1}}^{2}+4{{x}_{2}}^{2}+4{x}_{1}{x}_{2}$）+2（${{y}_{1}}^{2}+4{{y}_{2}}^{2}+4{y}_{1}{y}_{2}$）
=（${{x}_{1}}^{2}+2{{y}_{1}}^{2}$）+4（${{x}_{2}}^{2}+2{{y}_{2}}^{2}$）+4（x₁x₂+2y₁y₂）=60，
∴T点是椭圆$\frac{{x}^{2}}{60}+\frac{{y}^{2}}{30}=1$上的点，
∴存在两定点F₁，F₂，且为椭圆$\frac{{x}^{2}}{60}+\frac{{y}^{2}}{30}$=1的两个焦点，
使得|TF₁|+|TF₂|为定值，
其坐标分别为（-$\sqrt{30}$，0），（$\sqrt{30}$，0）．

点评 本题考查椭圆方程的求法，考查满足条件的点是否存在的判断与求法，考查推理论证能力、运算求解能力，考查转化化归思想，是中档题．