Question

12．如图，在四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点E，F分别为A₁B，C₁C的中点．
（1）求证：EF∥平面ABCD；
（2）若四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁是长方体，且AB=AD=2AA₁，求平面A₁BF与平面ABCD所成二面角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）设AB的中点为M，连接EM、MC．推导出四边形EMCF是平行四边形，从而EF∥MC，由此能证明EF∥平面ABCD．
（2）根据四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁是长方体，建立空间直角坐标系D-xyz，利用向量法能求出平面A₁BF与平面ABCD所成二面角的正弦值．

解答 证明：（1）设AB的中点为M，连接EM、MC．
∵E为A₁B的中点，∴EM∥A₁A，且$EM=\frac{1}{2}{A_1}A$．
又∵F为四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱C₁C的中点，
∴EM∥FC，且EM=FC，
∴四边形EMCF是平行四边形．∴EF∥MC．
又∵MC?平面ABCD，EF?平面ABCD，
∴EF∥平面ABCD．
解：（2）根据四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁是长方体，
建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz，设AB=2，
由已知得$D（0，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），{A_1}（2，0，1），{C_1}（0，2，1），E（2，1，\frac{1}{2}），F（0，2，\frac{1}{2}）$.$\overrightarrow{{A_1}B}=（0，2，-1），\overrightarrow{BF}=（-2，0，\frac{1}{2}）$，
设平面A₁BF的一个法向量为$\overrightarrow n=（x，y，z）$，
则$\overrightarrow n⊥\overrightarrow{{A_1}B}，\overrightarrow n⊥\overrightarrow{BF}$．
∴$\left\{{\begin{array}{l}{2y-z=0}\\{-2x+\frac{z}{2}=0}\end{array}}\right.$，取z=4，解得$\left\{{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=2}\end{array}}\right.$，
∴$\overrightarrow n=（1，2，4）$是平面A₁BF的一个法向量．
由已知得到$\overrightarrow m=（0，0，1）$是平面ABCD的一个法向量．
设平面A₁BF与平面ABCD所成二面角的大小为θ，
则$|{cosθ}|=\frac{{|{\overrightarrow m•\overrightarrow n}|}}{{|{\overrightarrow m}||{\overrightarrow n}|}}=\frac{{4\sqrt{21}}}{21}$．
∵0＜θ＜π，∴$sinθ=\frac{{\sqrt{105}}}{21}$．
∴平面A₁BF与平面ABCD所成二面角的正弦值为$\frac{{\sqrt{105}}}{21}$．

点评 本题考查线面平行的证明，考查二面角的正弦值的求法，考查推理论证能力、运算求解能力、空间思维能力，考查转化化归思想、数形结合思想，是中档题．