Question

3．已知数列{a_n}与{b_n}满足a_n=$\frac{1}{3}$b_n+2（n∈N^*），若{b_n}的前n项和为T_n=3（2ⁿ-1）且λa_n-b_n≥8（n-3）+2λ对一切n∈N^*恒成立，则实数λ的取值范围是[4，+∞）．

Answer 1

分析 由数列的递推式：当n=1时，b₁=T₁；当n≥2时，b_n=T_n-T_n-1，求得b_n，a_n，λa_n-b_n≥8（n-3）+2λ等价于（λ-3）•2^n-1≥8（n-3），运用参数分离和数列的单调性，可得最值，解不等式即可得到所求范围．

解答 解：依题设，当n=1时，b₁=T₁=3；
当n≥2时，b_n=T_n-T_n-1=3（2ⁿ-1）-3（2^n-1-1）=3•2^n-1，
又∵当n=1时，b₁=3，上式成立．
∴b_n=3•2^n-1．∴a_n=$\frac{1}{3}$b_n+2=2^n-1+2．
∴λa_n-b_n≥8（n-3）+2λ等价于λ（2^n-1+2）-3•2^n-1≥8（n-3）+2λ，
即（λ-3）•2^n-1≥8（n-3），
∴$\frac{λ-3}{16}$≥$\frac{n-3}{{2}^{n}}$对一切n∈N*恒成立，
令f（n）=$\frac{n-3}{{2}^{n}}$，则f（n+1）-f（n）=$\frac{n-2}{{2}^{n+1}}$-$\frac{n-3}{{2}^{n}}$=$\frac{4-n}{{2}^{n+1}}$，
∴当n≤4时，f（n+1）≥f（n），
当n≥5时，f（n+1）＜f（n），∴当n=4或5时，f（n）取得最大值，
∴f（n）_max=f（4）=f（5）=$\frac{1}{16}$，∴$\frac{λ-3}{16}$≥$\frac{1}{16}$，∴λ≥4．
故答案为：[4，+∞）．

点评 本题考查数列通项公式的求法，注意运用数列递推式，考查数列不等式恒成立问题的解法，注意运用参数分离和数列的单调性，考查转化思想和运算能力，属于中档题．