Question

7．已知函数f（x）=ln（|x-2|+|x+a|-9）．
（1）当a=3时，求函数f（x）的定义域；
（2）若函数f（x）的定义域为R，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用对数的真数大于0，列出不等式，利用绝对值不等式的解法求解函数的定义域即可．
（2）利用函数的定义域为R，通过绝对值的几何意义，转化求解即可．

解答 解：（1）当a=3时，|x-2|+|x+3|-9＞0，当x＜-3时，不等式化为：-2x-10＞0，解得x＜-5，
当x＞2时，不等式化为2x-8＞0解得x＞4，
当-3≤x≤2时，不等式无解，
所以函数的定义域为：（-∞，-5）∪（4，+∞）…（5分）
（2）由题意|x-2|+|x+a|＞9恒成立
∵|x-2|+|x+a|≥|x-2-x-a=|a+2|，
∴|a+2|＞9．
解得a＞7或a＜-11．…（10分）

点评 本题考查函数的定义域，函数恒成立以及绝对值不等式的解法，考查计算能力．