Question

16．圆的任何一对平行切线间的距离总是相等的，即圆在任意方向都有相同的宽度，具有这种性质的曲线可称为“等宽曲线”．事实上存在着大量的非圆等宽曲线，以工艺学家鲁列斯（ Reuleaux）命名的鲁列斯曲边三角形，就是著名的非圆等宽曲线．它的画法（如图1）：画一个等边三角形ABC，分别以A，B，C为圆心，边长为半径，作圆弧$\widehat{BC}，\widehat{CA}，\widehat{AB}$，这三段圆弧围成的图形就是鲁列斯曲边三角形．它的宽度等于原来等边三角形的边长．等宽曲线都可以放在边长等于曲线宽度的正方形内（如图2）．

在图2中的正方形内随机取一点，则这一点落在鲁列斯曲边三角形内的概率为（　　）

• A． $\frac{π}{8}$
• B． $\frac{{2π-3\sqrt{3}}}{4}$
• C． $\frac{{π-\sqrt{2}}}{2}$
• D． $\frac{{π-\sqrt{3}}}{2}$

Answer 1

分析 以面积为测度，分别计算面积，即可得出结论．

解答 解：设等边三角形的边长为1，则正方形的面积为1，
鲁列斯曲边三角形的面积为$\frac{1}{2}π-2×\frac{\sqrt{3}}{4}$=$\frac{π-\sqrt{3}}{2}$，
∴所求概率为$\frac{π-\sqrt{3}}{2}$，
故选D．

点评 本题考查几何概型，考查概率的计算，正确求面积是关键．