Question

6．设函数f（x）=x•e^x，g（x）=x²+2x，$h（x）=2sin（\frac{π}{6}x+\frac{2π}{3}）$，若对任意的x∈R，都有h（x）-f（x）≤k[g（x）+2]成立，则实数k的取值范围是（　　）

• A． $（-∞，\frac{1}{e}+1]$
• B． $（-2，\frac{1}{e}+3]$
• C． $[2+\frac{1}{e}，+∞）$
• D． $[1+\frac{1}{e}，+∞）$

Answer 1

分析 由题设h（x）-f（x）≤k[g（x）+2]恒成立等价于f（x）+kg（x）≥h（x）-2k；
构造函数H（x）=f（x）+kg（x），利用导数H'（x）判断H（x）的单调性，
求出H（x）的最值，判断不等式是否恒成立，从而求出k的取值范围．

解答 解：由题设h（x）-f（x）≤k[g（x）+2]恒成立，
等价于f（x）+kg（x）≥h（x）-2k①；
设函数H（x）=f（x）+kg（x），
则H'（x）=（x+1）（e^x+2k）；
（1）设k=0，此时H'（x）=e^x（x+1），
当x＜-1时H'（x）＜0，
当x＞-1时H'（x）＞0，
故x＜-1时H（x）单调递减，x＞-1时H（x）单调递增，
故H（x）≥H（-1）=-e^-1；
而当x=-1时h（x）取得最大值2，并且-e^-1＜2，
故①式不恒成立；
（2）设k＜0，注意到$H（-2）=-\frac{2}{e^2}$，
$h（-2）-2k=\sqrt{3}-2k＞\sqrt{3}＞-\frac{2}{e^2}$，故①式不恒成立；
（3）设k＞0，H'（x）=（x+1）（e^x+2k），
此时当x＜-1时H'（x）＜0，
当x＞-1时H'（x）＞0，
故x＜-1时H（x）单调递减，x＞-1时H（x）单调递增，
故$H（x）≥H（-1）=-\frac{1}{e}-k$；
而当x=-1时h（x）_max=2，故若使①式恒成立，
则$-\frac{1}{e}-k≥2-2k$，
解得$k≥2+\frac{1}{e}$．
故选：C

点评 本题考查了函数与不等式的应用问题，也考查了构造函数思想与等价转化问题，是综合题．