Question

6．设0＜a＜1，e为自然对数的底数，则a，a^e，e^a-1的大小关系为（　　）

• A． e^a-1＜a＜a^e
• B． a^e＜a＜e^a-1
• C． a^e＜e^a-1＜a
• D． a＜e^a-1＜a^e

Answer 1

分析 令f（x）=e^x-1-x，（x∈（0，1））．利用导数研究函数的单调性可得e^a-1与a的大小关系，再利用指数函数的单调性可得a与a^e的大小关系．

解答 解：∵0＜a＜1，a^e＜a，
令f（x）=e^x-1-x，（x∈（0，1））．
f′（x）=e^x-1＞0，
∴函数f（x）在x∈（0，1））单调递增，∴f（x）＞f（0）=1-1-0=0．
∴e^a-1＞a．
∴e^a-1＞a＞a^e．
故选：B．

点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性、指数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．