Question

14．已知直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=-\frac{3}{2}+tcosα\\ y=\frac{1}{2}+tsinα\end{array}\right.$（t为参数），以O为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=ρcosθ+2，（θ∈[0，2π））
（1）写出直线l经过的定点的直角坐标，并求曲线C的普通方程；
（2）若$α=\frac{π}{4}$，求直线l的极坐标方程，以及直线l与曲线C的交点的极坐标．

Answer 1

分析 （1）直线l经过定点$（{-\frac{3}{2}，\frac{1}{2}}）$，由ρ=ρcosθ+2得ρ²=（ρcosθ+2）²，即可求曲线C的普通方程；
（2）若$α=\frac{π}{4}$，求直线l的极坐标方程，联立曲线ρ=ρcosθ+2，即可求出直线l与曲线C的交点的极坐标．

解答 解：（1）直线l经过定点$（{-\frac{3}{2}，\frac{1}{2}}）$，
由ρ=ρcosθ+2得ρ²=（ρcosθ+2）²，
得曲线C的普通方程为x²+y²=（x+2）²，化简得y²=4x+4．
（2）若$α=\frac{π}{4}$，得$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{3}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$，普通方程为y=x+2，
则直线l的极坐标方程为ρsinθ=ρcosθ+2，
联立曲线ρ=ρcosθ+2，得sinθ=1，取θ=$\frac{π}{2}$，得ρ=2，
所以直线l与曲线C的交点为（2，$\frac{π}{2}$）．

点评 本题考查三种方程的转化，考查学生的计算能力，属于中档题．