Question

4．已知F为椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1的左焦点，A是椭圆的短轴的上顶点，点B在x轴上，且AF⊥AB，A，B，F三点确定的圆C恰好与直线x+my+3=0相切，则m的值为（　　）

• A． ±3
• B． $\sqrt{3}$
• C． ±$\sqrt{3}$
• D． 3

Answer 1

分析 求得椭圆的焦点坐标，设B，则圆心C（$\frac{x-1}{2}$，0），半径为r=$\frac{x+1}{2}$，利用勾股定理求得x的值，利用点到直线的距离公式，即可求得m的值．

解答 解：由题意可知：椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1的左焦点（-1，0），设B（x，0），
由AF⊥AB，且A，B，F三点确定的圆C，圆心C（$\frac{x-1}{2}$，0），半径为r=$\frac{x+1}{2}$，
在△AOC中，由丨AO丨²+丨OC丨²=丨AC丨²=r²，即（$\sqrt{3}$）²+（$\frac{x-1}{2}$）²=（$\frac{x+1}{2}$）²，
解得：x=3，
则C（1，0），半径为2，
由题意可知：圆心到直线x+my+3=0距离d=$\frac{丨1+m×0+3丨}{\sqrt{1+{m}^{2}}}$=2，解得：m=±$\sqrt{3}$，
故选：C．

点评 本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，考查点到直线的距离公式，考查计算能力，属于中档题．