Question

用放缩法证明不等式：2（

n+1

-1）＜1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

＜2

n

（n∈N^*）

Answer 1

考点：反证法与放缩法

专题：推理和证明

分析：利用

2

2 + 1

＞

1

2

＞

2

3 + 2

，

2

3 + 2

＞

1

3

＞

2

4 + 3

，…即可证明结果．

解答： 证明：原式=1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

＜1+

2

2 + 1

+

2

3 + 2

+…+

2

n + n-1

＜1+2(

2

-1)+2(

3

-

2

)+…+2(

n

-

n-1

)
=1+2（

n

-1）=2

n

-1＜2

n

．
因为1＞

2

2 +1

=2(

2

-1)，

1

2

＞

2

3 + 2

=2（

3

-

2

），

1

3

＞

2

4 + 3

=2(

4

-

3

)…

1

n

＞

2

n + n+1

=2(

n+1

-1)，
所以2（

n+1

-1）＜1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

．
所以2（

n+1

-1）＜1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

＜2

n

（n∈N^*）

点评：本题考查放缩法证明不等式，关键是放大与缩小的度，考查分析问题解决问题的能力．