Question

已知正三棱锥S-ABC的底面边长为4，高为3
（1）求正三棱锥S-ABC外接球半径；
（2）在正三棱锥内任取一点P，求点P满足V_P-ABC＜

1

3

V_S-ABC的概率．

Answer 1

考点：几何概型,球的体积和表面积,球内接多面体

专题：计算题,概率与统计

分析：（1）由题意推出球心O到四个顶点的距离相等，利用勾股定理，求出球的半径，
（2）作出S在底面△ABC的射影为O，若V_P-ABC=

1

3

V_S-ABC，则高OP=

1

3

SO，所以概率为棱台与原棱锥体积之比，用相似比计算即可．

解答： 解：（1）由题意，设正三棱锥S-ABC外接球半径为R，则
∵球心O到四个顶点的距离相等，正三棱锥S-ABC的底面边长为4，高为3，
∴R²=（

3

3

×4）²+（3-R）²，
∴外接球的半径为R=

43

18

；
（2）作出S在底面△ABC的射影为O，
若V_P-ABC=

1

3

V_S-ABC，则高OP=

1

3

SO，
∴V_P-ABC＜

1

3

V_S-ABC的概率P=1-（

1

3

）³=

26

27

．

点评：本题是基础题，考查空间想象能力，计算能力；考查几何概型的概率计算，求出对应的体积关系是解决本题的关键，根据比例关系，得到面积之比是相似比的平方，体积之比是相似比的立方．