Question

在复平面内A，B，C三点对应的复数分别为1，2+i，-1+2i．
（1）求

AB

，

BC

，

AC

对应的复数；
（2）判断△ABC的形状；
（3）求△ABC的面积．

Answer 1

考点：复数的代数表示法及其几何意义,平面向量数量积的运算,正弦定理

专题：数系的扩充和复数

分析：（1）由题意得到复平面内A、B、C对应的点坐标，再根据向量的坐标运算求出

AB

，

BC

，

AC

对应的复数；
（2）分别求出相应的线段的模，再根据勾股定理得到三角形为直角三角形；
（3）利用直角三角形的面积公式，计算即可．

解答： 解：（1）∵A，B，C三点对应的复数分别为1，2+i，-1+2i．
∴复平面内A、B、C对应的点坐标分别为（1，0），（2，1），（-1，2），
∴

AB

=（2，1）-（1，0）=（1，1），

BC

=（-1，2）-（2，1）=（-3，1），

AC

=（-1，2）-（1，0）=（-2，2）
∴

AB

，

BC

，

AC

对应的复数分别为1+i，-3+i，-2+2i，
（2）∵|

AB

|=

2

，|

BC

}=

10

，|

AC

|=

8

，
∴|

AB

|2+|

AC

|2=|

BC

|2，
∴△ABC为直角三角形．
（3）S△ABC=

1

2

|

AB

||

AC

|=

1

2

×

2

×

8

=2

点评：本题考查复数与复平面内对应点之间的关系，两个向量相等时坐标间的关系，以及勾股定理和三角形的面积，属于基础题．