Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且对任意正整数n，有S_n，，n（a≠0，a≠1）成等差数列，令b_n=（a_n+1）lg（a_n+1）．
（1）求数列{a_n}的通项公式a_n（用a，n表示）
（2）当时，数列{b_n}是否存在最小项，若有，请求出第几项最小；若无，请说明理由；
（3）若{b_n}是一个单调递增数列，请求出a的取值范围．

Answer 1

解：（1）由题意①
∴②
②-①得，
即a_n+1+1=a（a_n+1），{a_n+1}是以a为公比的等比数列．∴a_n+1=（a₁+1）a^n-1
又由?a₁=a-1∴a_n=aⁿ-1

（2）时，，
当n＜8时，b_n+1-b_n＜0即b_n+1＜b_n，∴b₁＞b₂＞＞b₈
当n=8时，b_n+1-b_n=0即b_n+1=b&_n，b₈=b₉
当n＞8时，b_n+1-b_n＞0即b_n+1＞b_n∴b₉＜b₁₀＜
存在最小项且第8项和第9项最小

（3）由b_n+1＞b_n得b_n+1-b_n=（n+1）aⁿ⁺¹lga-naⁿlga=aⁿ[（n+1）a-n]lga＞0
当a＞1时，得（n+1）a-n＞0，即，显然恒成立，∴a＞1
当0＜a＜1时，lga＜0，∴（n+1）a-n＜0即，∴，∴
综上，a的取值范围为．
分析：（1）由题设知，a_n+1+1=a（a_n+1），再由{a_n+1}是以a为公比的等比数列．知a_n+1=（a₁+1）a^n-1
又由?a₁=a-1，由此知a_n=aⁿ-1．
（2）时，，，
再经过分类讨论可知存在最小项且第8项和第9项最小．
（3）由b_n+1＞b_n得b_n+1-b_n=（n+1）aⁿ⁺¹lga-naⁿlga=aⁿ[（n+1）a-n]lga＞0，由此入手能够得到a的取值范围．
点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，合理解答，注意公式的灵活运用．