Question

已知命题p：x²+mx+1=0方程有两个不等的负实根，命题q：关于x的不等式x²+（m-3）x+m²＞0的解集是R．若p或q为真，p且q为假，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：复合命题的真假

专题：简易逻辑

分析：对于命题p：x²+mx+1=0方程有两个不等的负实根，可得

△=m2-4＞0 -m＜0

，解得m．对于命题q：关于x的不等式x²+（m-3）x+m²＞0的解集是R．可得△1=(m-3)2-4m2＜0，解得m．由p或q为真，p且q为假，可知：p，q中有且仅有一为真，一为假．

解答： 解：对于命题p：x²+mx+1=0方程有两个不等的负实根，
∴

△=m2-4＞0 -m＜0

，解得m＞2．
对于命题q：关于x的不等式x²+（m-3）x+m²＞0的解集是R．∴△1=(m-3)2-4m2＜0，解得m＞1或m＜-3．
由p或q为真，p且q为假，可知：p，q中有且仅有一为真，一为假．
p真q假时，

m＞2 -3≤m≤1

，解集为∅．
q真p假时，

m≤2 m＞1或m＜-3

，
解得（-∞，-3）∪（1，2]．
∴实数m的取值范围是（-∞，-3）∪（1，2]．

点评：本题考查了一元二次方程的解与判别式的关系、一元二次不等式的解集与判别式的关系、复合命题的真假判定，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．