Question

已知函数f(x)=

a

2

x2+(a+1)x+2ln(x-1)．
（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线与直线2x-y+1=0平行，求出这条切线的方程；
（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调区间；
（Ⅲ）若对于任意的x∈（1，+∞），都有f（x）＜-2，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由f′(x)=ax+a+1+

2

x-1

，得切线斜率为k=f'（2）=2a+3，据题设，k=2，所以a=-

1

3

，故有f(2)=

2

3

，由此能求出切线方程．
（Ⅱ）由f′(x)=ax+a+1+

2

x-1

=

ax2+x-a+1

x-1

=

(x+1)(ax-a+1)

x-1

(x＞1)，知当a=0时，f′(x)=

x+1

x-1

，由于x＞1，所以f′(x)=

x+1

x-1

＞0，由此能够讨论函数f（x）的单调区间．
（Ⅲ）当a≥0时，考查f（2）=4a+2≥2＞0，不合题意，舍；当a＜0时，由（Ⅱ）知f(x)max=f(

a-1

a

)=

3a2-2a-1

2a

-2ln(-a)．故只需

3a2-2a-1

2a

-2ln(-a)＜-2，即3a+2-

1

a

＜4ln(-a)．由此能求出实数a的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）f′(x)=ax+a+1+

2

x-1

，
得切线斜率为k=f'（2）=3a+3，（2分）
据题设，k=2，所以a=-

1

3

，故有f(2)=

2

3

，（3分）
所以切线方程为y-f（2）=2（x-2），
即6x-3y-10=0，（4分）
（Ⅱ）f′(x)=ax+a+1+

2

x-1

=

ax2+x-a+1

x-1

=

(x+1)(ax-a+1)

x-1

(x＞1)
当a=0时，f′(x)=

x+1

x-1

，
由于x＞1，所以f′(x)=

x+1

x-1

＞0，
可知函数f（x）在定义区间（1，+∞）上单调递增，（6分）
当a≠0时，f′(x)=

a(x+1)(x- a-1 a )

x-1

，
若a＞0，则

a-1

a

＜1，
可知当x＞1时，有f'（x）＞0，
函数f（x）在定义区间（1，+∞）上单调递增，（8分）
若a＜0，则

a-1

a

＞1，
得当x∈(1，

a-1

a

)时，f'（x）＞0；
当x∈(

a-1

a

，+∞)时，f'（x）＜0．
所以，函数f（x）在区间(1，

a-1

a

)上单调递增，
在区间(

a-1

a

，+∞)上单调递减．
综上，当a≥0时，函数f（x）的单调递增区间是定义区间（1，+∞）；
当a＜0时，函数f（x）的单调增区间为(1，

a-1

a

)，减区间为(

a-1

a

，+∞)，（10分）
（Ⅲ）当a≥0时，考查f（2）=4a+2≥2＞0，不合题意，舍；
当a＜0时，由（Ⅱ）知f(x)max=f(

a-1

a

)=

3a2-2a-1

2a

-2ln(-a)．
故只需

3a2-2a-1

2a

-2ln(-a)＜-2，即3a+2-

1

a

＜4ln(-a)．（11分）
令t=-a，则不等式为-3t+2+

1

t

＜4lnt，且t＞0．
构造函数g(t)=4lnt+3t-2-

1

t

(t＞0)，
则g′(t)=

4

t

+3+

1

t2

＞0，
知函数g（t）在区间（0，+∞）上单调递增．
因为g（1）=4ln1+3-2-1=0，所以当t＞1时，g（1）＞0，
这说明不等式-3t+2+

1

t

＜4lnt(t＞0)的解为t＞1，即得a＜-1．
综上，实数a的取值范围是（-∞，-1）．（14分）

点评：本题考查利用导数求闭区间上函数最值的应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．综合性强，难度大，有一定的探索性，对数学思维能力要求较高，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．