Question

已知椭圆的左右焦点为，抛物线C：以F₂为焦点且与椭圆相交于点、,点在轴上方，直线与抛物线相切.
（1）求抛物线的方程和点、的坐标；
（2）设A,B是抛物线C上两动点，如果直线，与轴分别交于点. 是以,为腰的等腰三角形，探究直线AB的斜率是否为定值？若是求出这个定值，若不是说明理由.

Answer 1

（1）M、N的坐标分别为（1，2）、（1，－2）。
（2）为定值

解析试题分析：解：（1）由椭圆方程得半焦距          1分
所以椭圆焦点为                      
又抛物线C的焦点为     3分
∵在抛物线C上，
∴，直线的方程为          4分
代入抛物线C得
                         5分
∵与抛物线C相切，
，             6分
      ∴ M、N的坐标分别为（1，2）、（1，－2）。    7分
（2）直线AB的斜率为定值­—1.
证明如下：设，，，A、B在抛物线上，
由①-③得，
由②-③得， １０分
因为是以MP,MQ为腰的等腰三角形，所以  １０分
由得 化简整理，
得
由得：
为定值   14分
解法二：设，    6分
则，    8分
因为是以MP,MQ为腰的等腰三角形，所以    10分
即
所以                     
所以，由得     12分
所以，
所以，直线AB的斜率为定值，这个定值为  14分
考点：直线与抛物线的位置关系
点评：主要是考查了抛物线方程的方程的求解以及直线与抛物线的位置关系的运用，属于中档题。