Question

1．将5个小球放到3个盒子中，在下列条件下，各有多少种投放方法？
①小球不同，盒子不同，盒子不空；
 ②小球不同，盒子不同，盒子可空；
③小球不同，盒子相同，盒子不空；    
④小球不同，盒子相同，盒子可空；
⑤小球相同，盒子不同，盒子不空；   
⑥小球相同，盒子不同，盒子可空；
⑦小球相同，盒子相同，盒子不空；
⑧小球相同，盒子相同．

Answer 1

分析 根据不同情况，利用先分后排的方法，即可得出结论．

解答 解：①小球不同，盒子不同，盒子不空，将小球分成3份，每份1，1，3或1，2，2，再放在3个不同的盒子中，有$（\frac{{C}_{5}^{3}{C}_{2}^{1}}{{A}_{2}^{2}}+\frac{{C}_{5}^{2}{C}_{3}^{2}}{{A}_{2}^{2}}）•{A}_{3}^{3}$=150种；
 ②小球不同，盒子不同，盒子可空，有3⁵种；
③小球不同，盒子相同，盒子不空，将5个不同小球分成3份，分法为1，1，3；1，2，2，共有$\frac{{C}_{5}^{3}{C}_{2}^{1}}{{A}_{2}^{2}}+\frac{{C}_{5}^{2}{C}_{3}^{2}}{{A}_{2}^{2}}$=25种；    
④小球不同，盒子相同，盒子可空，将5个不同的小球分成1份、2份、3份，共有${C}_{5}^{5}$+（${C}_{5}^{4}+{C}_{5}^{3}$）+$\frac{{C}_{5}^{3}{C}_{2}^{1}}{{A}_{2}^{2}}+\frac{{C}_{5}^{2}{C}_{3}^{2}}{{A}_{2}^{2}}$=41；
⑤小球相同，盒子不同，盒子不空，用隔板法，有${C}_{4}^{2}$=6种方法；   
⑥小球相同，盒子不同，盒子可空，把5个小球及插入的2个隔板都设为小球，7个小球种任选两个变为隔板（可以相邻），那么2块隔板分成3份的小球数对应于相应的3个不同盒子，故有${C}_{7}^{3}$=21种；
⑦小球相同，盒子相同，盒子不空，5个相同的小球分成3份即可，有3，1，1；2，2，1，共2种；
⑧小球相同，盒子相同，只要将5个相同小球分成1份，2份，3份．分法如下：5，0，0；4，1，0；3，2，0；3，1，1；2，2，1，共5种．

点评 本题考查排列组合知识的运用，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．