Question

【题目】已知对任意的n∈N* ， 存在a，b∈R，使得1×（n2﹣12）+2×（n2﹣22）+3×（n2﹣32）+…+n（n2﹣n2）= （an2+b）
（1）求a，b的值；
（2）用数学归纳法证明上述恒等式．

Answer 1

【答案】
（1）解：由题意1×（n2﹣12）+2×（n2﹣22）+3×（n2﹣32）+…+n（n2﹣n2）= （an2+b），

上述等式分别取n=1，2得 ，解得 ，

（2）解：由（1）得1×（n2﹣12）+2×（n2﹣22）+3×（n2﹣32）+…+n（n2﹣n2）= （n2﹣1），

证明：①当n=1时，左边=1×（12﹣12）=0，右边= ×12（12﹣1）=0，等式成立，

②假设当n=k时，等式成立，即1×（k2﹣12）+2×（k2﹣22）+3×（k2﹣32）+…+k（k2﹣k2）= k2（k2﹣1），

则当n=k+1时，左边=1×[（k2﹣12）+（2k+1）]+2×[（k2﹣22）+（2k+1）]+…+k[（k2﹣k2）+（2k+1）]，

=1×（k2﹣12）+2×（k2﹣22）+3×（k2﹣32）+…+k（k2﹣k2）+（2k+1）（1+2+3+…+k），

= k2（k2﹣1）+（2k+1） k（k+1），

= k（k+1）（k2+3k+2），

= （k+1）2k（k+2），

= （k+1）2[（k+1）2﹣1]，

所以当n=k+1时等式成立，

综上所述，对任意n∈N*，原等式成立．

【解析】（1）分别取n=1，2，得到关于a，b的方程组解得即可，（2）先根据当n=1时，把n=1代入求值等式成立；再假设n=k时关系成立，利用变形可得n=k+1时关系也成立，综合得到对于任意n∈N*时都成立
【考点精析】利用数学归纳法的定义对题目进行判断即可得到答案，需要熟知数学归纳法是证明关于正整数n的命题的一种方法．