Question

已知函数f（x）=x^-1e^x的定义域是（0，+∞）．
（1）求函数f（x）在[m，m+1]（m＞0）上的最小值；
（2）?x∈（0，+∞），不等式xf（x）＞-x²+λx-1恒成立，求实数λ的取值范围．

Answer 1

（1）f(x)=

ex

x

，∴f′(x)=

ex(x-1)

x2

．
当x∈（0，1）时，∴f（x）在（0，1]上递减；
当x∈（1，+∞）时，∴f（x）在[1，+∞）上递增．
∴当m≥1时，f（x）在[m，m+1]上递增，f(x)min=f(m)=

em

m

；
当0＜m＜1时，f（x）在[m，1]上递减，在[1，m+1]上递增，f（x）_min=f（1）=e．
∴f(x)min=

em m ，m≥1 e，0＜m＜1

．
（2）?x＞0，e^x＞-x²+λx-1恒成立，即λ＜

ex

x

+x+

1

x

恒成立．
由（1）可知，?x＞0，

ex

x

≥e，当且仅当x=1时取等号，
又?x＞0，x+

1

x

≥2，当且仅当x=1时取等号，
∴当且仅当x=1时，有(

ex

x

+x+

1

x

)min=e+2．
∴λ＜e+2．