Question

13．已知i是虚数单位，复数z满足（z-2）i=-3-i．
（1）求z；
（2）若复数$\frac{x+i}{z}$在复平面内对应的点在第一象限，求实数x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用复数的运算法则即可得出．
（2）利用复数的运算法则、几何意义、不等式的解法即可得出．

解答 解：（1）∵（z-2）i=-3-i．
∴（z-2）i•i=（-3-i）•i，化为：z-2=3i-1．
∴z=1+3i．
（2）复数$\frac{x+i}{z}$=$\frac{（x+i）（1-3i）}{（1+3i）（1-3i）}$=$\frac{x+3}{10}$+$\frac{1-3x}{10}$i在复平面内对应的点（$\frac{x+3}{10}$，$\frac{1-3x}{10}$）在复在第一象限，
∴$\frac{x+3}{10}$＞0且$\frac{1-3x}{10}$＞0，解得$-3＜x＜\frac{1}{3}$．
∴实数x的取值范围是$（-3，\frac{1}{3}）$．

点评 本题考查了复数的运算法则、几何意义、不等式的解法，考查推理能力与计算能力，属于中档题．