Question

在平面直角坐标系xOy中有两定点F1(0，

3

)，F2(0，-

3

)，若动点M满足|

MF1

|+|

MF2

|=4，设动点M的轨迹为C．
（1）求曲线C的方程；
（2）设直线l：y=kx+t交曲线C于A、B两点，交直线l₁：y=k₁x于点D，若k•k₁=-4，证明：D为AB的中点．

Answer 1

分析：（1）设出动点M的坐标，利用由椭圆定义可知点M的轨迹为椭圆方程，利用焦点和长轴长求得a和b，则椭圆的方程可得．
（2）联立直线与椭圆的方程，消去y，利用韦达定理分别表示出中点坐标的表达式，联立L和直线l₁求得D点的坐标，推断出D为AB的中点．

解答：解：（1）设动点M的坐标为（x，y）∵|

MF1

|+|

MF2

|=4＞2

3

由椭圆定义可知，点M的轨迹C是以(0，

3

)，(0，-

3

)）为焦点，
长半轴长为2的椭圆，它的短半轴长b=

22-( 3 )2

=1
故曲线C的方程为x2+

y2

4

=1．
（Ⅱ）依题意，联立方程组

y=kx+t x2+ y2 4 =1

消去y得：（4+k²）x²+2ktx+t²-4=0
∴

x1+x2

2

=

-kt

4+k2

，

y1+y2

2

=k•

x1+x2

2

+t=

4t

4+k2

即AB的中点坐标为(

-kt

4+k2

，

4t

4+k2

)
解方程组

y=kx+t y=k1x

得直线l与l₁的交点D的坐标为(

t

k1-k

，

k1t

k1-k

)
由k•k₁=-4得k1=-

4

k

，代入D点坐标即为(

-kt

4+k2

，

4t

4+k2

)
综上可知，D为AB的中点．

点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．考查了学生分析推理能力和基本运算能力．