Question

（2012•辽宁）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy中，圆C1：x2+y2=4，圆C2：(x-2)2+y2=4
（I）在以圆O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆C₁，C₂的极坐标方程，并求出圆C₁，C₂的交点坐标（用坐标表示）；
（Ⅱ）求圆C₁与C₂的公共弦的参数方程．

Answer 1

分析：（I）利用

x=ρcosθ y=ρsinθ

，以及x²+y²=ρ²，直接写出圆C₁，C₂的极坐标方程，求出圆C₁，C₂的交点极坐标，然后求出直角坐标（用坐标表示）；
（II）解法一：求出两个圆的直角坐标，直接写出圆C₁与C₂的公共弦的参数方程．
解法二利用直角坐标与极坐标的关系求出ρ=

1

cosθ

，然后求出圆C₁与C₂的公共弦的参数方程．

解答：解：（I）由

x=ρcosθ y=ρsinθ

，x²+y²=ρ²，
可知圆C1：x2+y2=4，的极坐标方程为ρ=2，
圆C2：(x-2)2+y2=4，即C2：x2+y2=4x的极坐标方程为ρ=4cosθ，
解

ρ=2 ρ=4cosθ

得：ρ=2，θ=±

π

3

，
故圆C₁，C₂的交点坐标（2，

π

3

），（2，-

π

3

）．
（II）解法一：由

x=ρcosθ y=ρsinθ

得圆C₁，C₂的交点的直角坐标（1，

3

），（1，-

3

）．
故圆C₁，C₂的公共弦的参数方程为

x=1 y=t

  -

3

≤t≤

3

（或圆C₁，C₂的公共弦的参数方程为

x=1 y=y

 -

3

≤y≤

3

）
（解法二）将x=1代入

x=ρcosθ y=ρsinθ

得ρcosθ=1
从而ρ=

1

cosθ

于
是圆C₁，C₂的公共弦的参数方程为

x=1 y=tanθ

-

π

3

≤θ≤

π

3

．

点评：本题考查简单曲线的极坐标方程，直线的参数方程的求法，极坐标与直角坐标的互化，考查计算能力．