Question

11．已知椭圆$\frac{x^2}{m}+\frac{y^2}{n}=1$过点P（1，2），则m+n的最小值为9．

Answer 1

分析 将P（1，2），代入椭圆方程，则$\frac{1}{m}+\frac{4}{n}=1$，（m＞0，n＞0），由基本不等式的性质则m+n=（m+n）（$\frac{1}{m}$+$\frac{4}{n}$）=1+$\frac{4m}{n}$+$\frac{n}{m}$+4≥5+2$\sqrt{\frac{4m}{n}•\frac{n}{m}}$=9．

解答 解：将P（1，2），代入椭圆$\frac{x^2}{m}+\frac{y^2}{n}=1$，则$\frac{1}{m}+\frac{4}{n}=1$，（m＞0，n＞0），
m+n=（m+n）（$\frac{1}{m}$+$\frac{4}{n}$）=1+$\frac{4m}{n}$+$\frac{n}{m}$+4≥5+2$\sqrt{\frac{4m}{n}•\frac{n}{m}}$=9，
当且仅当$\frac{4m}{n}$=$\frac{n}{m}$时，m=3，n=6时，取等号，
∴m+n的最小值9，
故答案为：9．

点评 本题考查基本等式及椭圆的标准方程的应用，考查计算能力，属于基础题．