Question

16．已知直线y=-x+1与椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）相交于A，B两点，且OA⊥OB（O为坐标原点），若椭圆的离心率e∈[$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$]，则a的最大值为$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

Answer 1

分析 将直线方程代入椭圆方程，由韦达定理，向量数量积的坐标运算，求得2a²=1+$\frac{1}{1-{e}^{2}}$，由离心率的取值范围，即可求得a的最大值．

解答 解：设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+1}\\{\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1}\end{array}\right.$，消去y，可得（a²+b²）x²-2a²x+a²（1-b²）=0，
∴则x₁+x₂=$\frac{2{a}^{2}}{{a}^{2}+{b}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{{a}^{2}（1-{b}^{2}）}{{a}^{2}+{b}^{2}}$，
由△=（-2a²）²-4a²（a²+b²）（1-b²）＞0，整理得a²+b²＞1．
∴y₁y₂=（-x₁+1）（-x₂+1）=x₁x₂-（x₁+x₂）+1．
∵OA⊥OB（其中O为坐标原点），可得$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=0
∴x₁x₂+y₁y₂=0，即x₁x₂+（-x₁+1）（-x₂+1）=0，化简得2x₁x₂-（x₁+x₂）+1=0．
∴2•$\frac{{a}^{2}（1-{b}^{2}）}{{a}^{2}+{b}^{2}}$-$\frac{2{a}^{2}}{{a}^{2}+{b}^{2}}$+1=0．整理得a²+b²-2a²b²=0．
∵b²=a²-c²=a²-a²e²，
∴代入上式，化简得2a²=1+$\frac{1}{1-{e}^{2}}$，
∴a²=$\frac{1}{2}$（1+$\frac{1}{1-{e}^{2}}$）．
∵e∈[$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$]，平方得$\frac{1}{4}$≤e²≤$\frac{3}{4}$，
∴$\frac{1}{4}$≤1-e²≤$\frac{3}{4}$，可得 $\frac{4}{3}$≤$\frac{1}{1-{e}^{2}}$≤4，
因此$\frac{7}{3}$≤2a²=1+$\frac{1}{1-{e}^{2}}$≤5，$\frac{7}{6}$≤a²≤$\frac{5}{2}$，可得a²的最大值为$\frac{5}{2}$，
满足条件a²+b²＞1，
∴当椭圆的离心率e=$\frac{\sqrt{3}}{2}$时，a的最大值为$\frac{\sqrt{10}}{2}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，韦达定理，向量数量积的坐标运算，考查计算能力，属于中档题．