Question

3．在△ABC中，∠A的角平分线交BC于点D，且AD=1，边BC上的高AH=$\frac{1}{2}$，△ABD的面积是△ACD的面积的2倍，则BC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

Answer 1

分析 由题意，AB：AC=BD：DC=2：1，DH=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，设DC=x，则BD=2x，可得$\frac{1}{4}$+（2x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$）²=4[$\frac{1}{4}$+（x-$\frac{\sqrt{3}}{2}$）²]，求出x=$\frac{\sqrt{3}}{6}$，即可得出结论．

解答 解：由题意，AB：AC=BD：DC=2：1，DH=$\frac{\sqrt{3}}{2}$
设DC=x，则BD=2x，∴$\frac{1}{4}$+（2x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$）²=4[$\frac{1}{4}$+（x-$\frac{\sqrt{3}}{2}$）²]，
∴x=$\frac{\sqrt{3}}{6}$，
∴BC=3x=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
故答案为$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题考查三角形角平分线的性质，考查勾股定理的运用，属于中档题．