Question

11．给出下列结论：动点M（x，y）分别到两定点（-4，0），（4，0）连线的斜率之积为-$\frac{9}{16}$，设M（x，y）的轨迹为曲线C，F₁、F₂分别曲线C的左、右焦点，则下列命题中：
（1）曲线C的焦点坐标为F₁（-5，0）、F₂（5，0）；
（2）曲线C上存在一点M，使得S${\;}_{△{F}_{1}P{F}_{2}}$=9；
（3）P为曲线C上一点，P，F₁，F₂是一个直角三角形的三个顶点，且|PF₁|＞|PF₂|，$\frac{|P{F}_{1}|}{|P{F}_{2}|}$的值为$\frac{23}{9}$；
（4）设A（1，1），动点P在曲线C上，则|PA|-|PF₂|的最大值为$\sqrt{9-2\sqrt{7}}$；
其中正确命题的序号是（3）（4）．

Answer 1

分析 求出曲线C的方程为：$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{9}$=1，x≠±4．
在（1）中，C的焦点坐标为F₁（-$\sqrt{7}$，0）、F₂（$\sqrt{7}$，0）；在（2）中，（S${\;}_{△{F}_{1}P{F}_{2}}$）_max=3$\sqrt{7}$＜9；在（3）中，由椭圆定义得$\frac{|P{F}_{1}|}{|P{F}_{2}|}$的值为$\frac{23}{9}$；在（4）中，当P，F₂，A共线时，|PA|-|PF₂|的最大值为|AF₂|．

解答 解：∵动点M（x，y）分别到两定点（-4，0），（4，0）连线的斜率之积为-$\frac{9}{16}$，
∴$\frac{y}{x+4}•\frac{y}{x-4}$=-$\frac{9}{16}$，整理，得曲线C的方程为：$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{9}$=1，x≠±4
在（1）中，∵F₁、F₂分别曲线C的左、右焦点，c=$\sqrt{16-9}$=$\sqrt{7}$，
∴线C的焦点坐标为F₁（-$\sqrt{7}$，0）、F₂（$\sqrt{7}$，0），故（1）错误；
在（2）中，曲线C上存在一点M，（S${\;}_{△{F}_{1}P{F}_{2}}$）_max=$\frac{1}{2}×2c×b$=bc=3$\sqrt{7}$＜9，故（2）错误；
在（3）中，当∠PF₂F₁=90°时，|PF₂|=$\frac{{b}^{2}}{a}$=$\frac{9}{4}$，|PF₁|=8-$\frac{9}{4}$=$\frac{23}{4}$，$\frac{|P{F}_{1}|}{|P{F}_{2}|}$的值为$\frac{23}{9}$，故（3）正确；
在（4）中，当P，F₂，A共线时，|PA|-|PF₂|的最大值为|AF₂|=$\sqrt{（1-0）^{2}+（1-\sqrt{7}）^{2}}$=$\sqrt{9-2\sqrt{7}}$，故（4）正确．
故答案为：（3）（4）．

点评 本题考查椭圆的定义标准方程及其性质、三角形的内切圆的性质、斜率计算公式，考查了转化能力，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．