Question

6．在四菱锥P-ABCD中，PA⊥AD，PA=1，PC=PD，底面ABCD是梯形，AB∥CD，AB⊥BC，AB=BC=1，CD=2．
（I）求证：PA⊥AB；
（II）求直线AD与平面PCD所成角的大小．

Answer 1

分析 （I）取CD的中点E，连接AE，PE，则AE⊥CD，PE⊥CD，证明PA⊥平面ABCD，即可证明：PA⊥AB；
（II）求出A到平面PCD的距离，即可求直线AD与平面PCD所成角的大小．

解答 （I）证明：取CD的中点E，连接AE，PE，则AE⊥CD，PE⊥CD，
∵AE∩PE=E，∴CD⊥平面PAE．
∵PA?平面PAE，∴CD⊥PA，
∵PA⊥AD，AD∩CD=D，
∴PA⊥平面ABCD，
∵AB?平面ABCD，
∴PA⊥AB；
（II）解：由题意，AD=PE=$\sqrt{2}$．
设A到平面PCD的距离为h，则由等体积可得$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×\sqrt{2}h$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×\sqrt{2}×1$，
∴h=$\frac{\sqrt{2}}{2}$
∴直线AD与平面PCD所成角的正弦值为$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\sqrt{2}}$=$\frac{1}{2}$，大小为30°．

点评 本题考查线面垂直的判定与性质，考查线面角，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．