Question

14．若函数f（x）=a（x-2）e^x+lnx+$\frac{1}{x}$在（0，2）上存在两个极值点，则a的取值范围为（　　）

• A． （-∞，-$\frac{1}{4{e}^{2}}$）
• B． （-$\frac{1}{e}$，$\frac{1}{4{e}^{2}}$）∪（1，+∞）
• C． （-∞，-$\frac{1}{e}$）
• D． （-∞，-$\frac{1}{e}$）∪（--$\frac{1}{e}$，-$\frac{1}{4{e}^{2}}$）

Answer 1

分析 函数f（x）在（0，2）上存在两个极值点，等价于f′（x）在（0，2）上有两个零点，
令f′（x）=0，求出x=1和ae^x+$\frac{1}{{x}^{2}}$=0，且x≠1，x∈（0，2）；
求出a=-$\frac{1}{{e}^{x}{•x}^{2}}$，x∈（0，1）∪（1，2）；
设t（x）=e^x•x²，x∈（0，1）∪（1，2），求出t（x）的取值范围，即得a的取值范围．

解答 解：函数f（x）=a（x-2）e^x+lnx+$\frac{1}{x}$在（0，2）上存在两个极值点，
等价于f′（x）=a（x-1）e^x+$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{{x}^{2}}$在（0，2）上有两个零点，
令f′（x）=0，则a（x-1）e^x+$\frac{x-1}{{x}^{2}}$=0，
即（x-1）（ae^x+$\frac{1}{{x}^{2}}$）=0，
∴x-1=0或ae^x+$\frac{1}{{x}^{2}}$=0，
∴x=1满足条件，且ae^x+$\frac{1}{{x}^{2}}$=0（其中x≠1且x∈（0，2））；
∴a=-$\frac{1}{{e}^{x}{•x}^{2}}$，其中x∈（0，1）∪（1，2）；
设t（x）=e^x•x²，其中x∈（0，1）∪（1，2）；
则t′（x）=（x²+2x）e^x＞0，
∴函数t（x）是单调增函数，
∴t（x）∈（0，e）∪（e，4e²），
∴a∈（-∞，-$\frac{1}{e}$）∪（-$\frac{1}{e}$，-$\frac{1}{{4e}^{2}}$）．
故选：D．

点评 本题考查了函数导数的综合应用问题，也考查了函数极值与零点的应用问题，考查转化思想与计算能力，是综合性题目．