Question

4．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）图象相邻的一个最大值点和一个对称中心分别为（$\frac{π}{6}$，2），（$\frac{5π}{12}$，0），则g（x）=f（x）cos2x在区间[0，$\frac{π}{4}$）的值域为[0，$\frac{3}{2}$]．

Answer 1

分析 由函数的最值求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得f（x）的解析式，再利用三角恒等变换求得g（x）的解析式，再利用正弦函数的定义域和值域，求得g（x）=f（x）cos2x在区间[0，$\frac{π}{4}$）的值域

解答 解：函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）图象相邻的一个最大值点和一个对称中心
分别为（$\frac{π}{6}$，2），（$\frac{5π}{12}$，0），∴A=2，
∴$\frac{T}{4}$=$\frac{1}{4}•\frac{2π}{ω}$=$\frac{5π}{12}$-$\frac{π}{6}$，∴ω=2，∴2•$\frac{π}{6}$+φ=$\frac{π}{2}$，∴φ=$\frac{π}{6}$，f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）．
g（x）=f（x）cos2x=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）•cos2x=（2sin2x•$\frac{\sqrt{3}}{2}$+2cos2x•$\frac{1}{2}$）•cos2x
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin4x+$\frac{1+cos4x}{2}$=sin（4x+$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$．
∵在区间[0，$\frac{π}{4}$）上，4x+$\frac{π}{6}$∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$），sin（4x+$\frac{π}{6}$）∈[-$\frac{1}{2}$，1]，
则g（x）=f（x）cos2x在区间[0，$\frac{π}{4}$）的值域为[0，$\frac{3}{2}$]，
故答案为：[0，$\frac{3}{2}$]．

点评 本题主要考查正弦函数的图象和性质，三角恒等变换，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．